【樓主】2014-01-21 15:07
» 天才與鍛煉 ——從沙昆塔拉快速計算所想到的轟動聽聞的消息
原載于《環(huán)球》雜志1982年1月，作者華羅庚。本文來源于http://yuanpei.wordpress.com/2008/11/22/%E8%BD%AC%E8%BD%BD-%E5%A4%A9%E6%89%8D%E4%B8%8E%E9%94%BB%E7%82%BC/ (需翻墻？)。該網(wǎng)址內(nèi)原文圖片丟失，因此本文亦無法提供圖片。
天才與鍛煉 ——從沙昆塔拉快速計算所想到的轟動聽聞的消息
提問者寫下一個201位的數(shù)：916，748，679，200，391，580，986，609，275，853，801，624，831，066，801，443，086，224，071，265，164，279，346，570，408，670，965，932，792，057，674，808，067，900，227，830，163，549，248，523，803，357，453，169，351，119，035，965，775，473，400，756，816，883，056，208，210，161，291，328，455，648，057，801，588，067，711
解答者馬上回答：這數(shù)的23次方根等于9位數(shù)546，372，891.
《環(huán)球》雜志的一篇文章中是這樣說的(請參閱《環(huán)球》1982年第3期《勝過電子計算機的人》一文)：印度有一位37歲的婦女沙昆塔拉在計算這道題時速度超過了一臺最先進的電子計算機.這臺在美國得過獎的最現(xiàn)代化、最尖端的產(chǎn)品Univac 1180型電子計算機在算這道題時，要先饋入近2萬個指令和數(shù)字單元，然后才能開始計算.它整整用了一分鐘時間才算出結(jié)果.而沙昆塔拉在教授在黑板上用了 4分鐘寫出這個201位數(shù)后，僅用50秒鐘就算出了以上的答案.美國報紙稱她為數(shù)學(xué)魔術(shù)師，轟動一時！文章末尾還神秘地說，在她快生孩子的一個星期，她的計算能力出了問題.
面對這樣的問題怎么辦？
看到上述消息，可能有以下幾種態(tài)度：一是驚嘆，望塵莫及，欽佩之至，欽佩之余也就罷了.二是不屑一顧，我是高等數(shù)學(xué)專家，豈能為這些區(qū)區(qū)計算而浪費精力.三是我掌握著快速電子計算機，軟件有千千萬，她一次勝了我算個啥！老實說，有上述這些思想是會妨礙進步的.第一種態(tài)度是沒出息，不想和高手較量較量. 第二種態(tài)度是自命不凡.實際上連計算也怕的人，能在高等數(shù)學(xué)上成為權(quán)威嗎？即使能成，也是“下筆雖有千言，胸中實無一策”，瞧不起應(yīng)用，又對應(yīng)用一無所能的人.第三種是固步自封，不想做機器的主人.動腦筋是推進科學(xué)發(fā)展的動力之一，而勤奮、有機會就鍛煉是增長我們能耐的好方法.人壽幾何！我并不是說碰到所有的問題都想，而是說要經(jīng)常動腦筋，來考驗自己.
在我們見到這問題的時候，首先發(fā)現(xiàn)文章中答數(shù)的倒數(shù)第二位錯了，其次我們用普通的計算器(Sharp 506)可以在20秒內(nèi)給出答數(shù).那位教授在黑板上寫下那個201位數(shù)用了4分鐘，實際上在他寫出8個數(shù)字后，我們就可算出答數(shù)了.所以說，沙昆塔拉以50″對1′勝了Univac 1180，而我們用Sharp 506小計算器以-3′40″勝了沙昆塔拉的50″.但我們所靠的不是天才，而是普通人都能學(xué)會的方法.讓我從頭說起吧！
從開立方說起
文章中提到，沙昆塔拉在計算開方時，經(jīng)常能糾正人們提出的問題，指出題目出錯了，可見他們是共同約定開方是開得盡的.現(xiàn)在我們也做這樣的約定，即開方的答數(shù)都是整數(shù).
我國有一位少年，能在一分鐘內(nèi)開6位數(shù)的立方.少年能想得出這個方法是值得稱道的，但美中不足之處在于他沒有把方法講出來，因而搞得神秘化了.當(dāng)然也考試了人們，為什么少年能想得出的方法，一些成年人就想不出來，反而推波助瀾造成過分的宣揚？
這問題對我是一個偶遇：在飛機上我的一位助手借了鄰座一位香港同胞的雜志看，我從旁看到一個數(shù)59，319，希望求這數(shù)的立方根.我脫口而出答數(shù)是 39.他問為什么，我說，前二位不是說明答數(shù)的首位是3嗎？尾數(shù)是9不是說明答數(shù)的末位應(yīng)當(dāng)是9嗎？因此答數(shù)不該是39嗎？
然后，我告訴他，我的完整想法是：把六位數(shù)開立方，從前三位決定答數(shù)的第一位，答數(shù)的第二位根據(jù)原數(shù)的末位而定：2、 8互換，3、7互換，其它照舊(這是因為1、2、3、4、5、6、7、8、9立方的末位分別為1、8、7、4、5、6、3、2、9).例如314，432 的立方根是68，前三位決定6，末位是2，它決定答數(shù)的末位是8.
沙昆塔拉可以脫口而出地回答188，132，517的立方根是573.當(dāng)然188決定了首位5，末位7決定了3，但讀者試想一下，中間的7怎樣算？
歸納起來可以看出有兩個方法：一個由頭到尾，一個由尾到頭.
習(xí)題：求90，224，199的五次方根.
我們怎樣看出答數(shù)倒數(shù)第二位是錯的
這一點比較難些，要運用一個結(jié)果：即a23的最后兩位數(shù)和a3的最后兩位數(shù)是完全相同的.
913的最后兩位數(shù)是71而不是11，而713的最后兩位數(shù)才是11，因此答數(shù)中的9應(yīng)當(dāng)改為7.先不管出現(xiàn)這個差錯的原因是什么，我們這里已經(jīng)做了一個很好的習(xí)題.想不到竟是Univac1180把題目出錯了，這事我們后面再講它.
附記 我們來證明a23的最后兩位數(shù)和a3的最后兩位數(shù)相同.當(dāng)a=2或5時，容易直接驗算.今假定a不能被2和5除盡，我們只要證明a20的末兩位是01就夠了.首先因a是奇數(shù)，a2-1總能被8除盡，所以a20-1當(dāng)然也能被8除盡.其次，因
a4-1=(a-1)(a+1)，
a不是5的倍數(shù)，所以a-2，a-1，a+1，a+2中肯定有一個是5的倍數(shù).即b=a4-1是5的倍數(shù)，而
a20-1=(b+1)5-1=b5+5b4+10b3+10b2+5b.
因而a20-1是25的倍數(shù).從而a20-1是100的倍數(shù).具備些數(shù)論知識的人也可從費爾馬定理推出來.
我們怎樣算
我們用的原則是：如果解答是L位整數(shù)，我們只要用前L位(有時只要L-1位)或后L位就夠了.用后L位的方法見附錄二，先說前一方法.以前
此處缺圖
當(dāng)那位教授說要開201位數(shù)的23方時，以23除201余17，就能預(yù)測答數(shù)是9位數(shù).當(dāng)教授寫到第六、七位時，我們就在Sharp 506上按這六位和七位數(shù)，乘以1016，然后按開方鈕算出
(9.16748×1016)1/23=5.46372873，
(9.167486×1016)1/23=5.46372892，
這樣我們定出了答數(shù)的前七位：5，463，728，后二位已由上節(jié)的方法決定了，因此答數(shù)應(yīng)該是546，372，871.其實，更進一步考慮，只需利用這個201位數(shù)的前八位數(shù)字就能在計算器上得到它的23次方根(證明見下面的附記)：
此處缺圖
但不幸的是，把這個數(shù)乘23次方，結(jié)果與原來給的數(shù)不相符(見附錄一).與原題比較，發(fā)現(xiàn)原題不但尾巴錯了，而且在第八和第九位之間少了一個6.竟想不到Univac 1180把題目出錯了，也許是出題的人故意這樣做的.為什么沙昆塔拉這次沒能發(fā)現(xiàn)這個錯誤？看來她可能也是根據(jù)前八位算出了結(jié)果，而沒對解答進行驗算.
我們的習(xí)題沒有白做，答數(shù)錯了我們發(fā)現(xiàn)了，連題目出錯了我們也糾正了.
結(jié)論是：在教授寫到91，674，867時，我們在計算器上按上這八個數(shù)字。再乘1016，然后按鈕開23方就可算出答案，總共約用20″就夠了，也就是比那個教授寫完這個數(shù)還要快3分40秒，比沙昆塔拉快了4分半鐘.
既然已經(jīng)知道答數(shù)是九位數(shù)，或者說在要求答數(shù)有九位有效數(shù)字時，我們就只需把前八位或九位數(shù)字輸入計算機就夠了，而無需把201位數(shù)全部輸入機器，進行一些多余的計算.
附記 以a表示那個201位數(shù)，b也表示一個201位數(shù)，它的前L位與a相同，后面各位都是零.由中值公式，可知存在一個ξ(b<ξ<a)使
此處缺圖
當(dāng)取L=8時，上式小于1/2，由b1/23的前九位(第十位四舍五入)就可給出a1/23.
虛構(gòu)
下面講一個虛構(gòu)的故事，在沙昆塔拉計算表演后，有一天教授要給學(xué)生們出一道計算題.一位助手取來了題目.是一個871位數(shù)開97方，要求答案有 9位有效數(shù)字.教授開始在黑板上抄這個數(shù)：456，378，192，765，431，892，634，578，932，246，653，811，594，667，891，992，354，467，768，892，…… 當(dāng)抄到二百多位后，教授的手已經(jīng)發(fā)酸了.“唉！”他嘆了一口氣，把舉著的手放下甩了一下.這時一位學(xué)生噗嗤一聲笑了起來，對教授說，當(dāng)您寫出八位數(shù)字后，我已把答案算出來了，它是588，415，036.那位助手也跟著笑了.他說，本來后面這些數(shù)字是隨便寫的，它們并不影響答數(shù).這時教授恍然大悟，“哈哈，我常給你們講有效數(shù)字，現(xiàn)在我卻把這個概念忘了.”
多余的話
我不否認(rèn)沙昆塔拉這樣的計算才能.對我來說，不要說運算了，就是記憶一個六、七位數(shù)都記不住.但我總覺得多講科學(xué)化比多講神秘化好些，科學(xué)化的東西學(xué)得會，神秘化的東西學(xué)不會，故意神秘化就更不好了.有時傳播神秘化的東西比傳播科學(xué)更容易些.在科學(xué)落后的地方，一些簡單的問題就能迷惑人.在科學(xué)進步的地方，一些較復(fù)雜的問題也能迷惑人.看看沙昆塔拉能在一個科學(xué)發(fā)達的國家引起轟動，就知道我們該多么警惕了，該多么珍視在實踐中考驗過的科學(xué)成果了，該多么慎重地對待一些未到實踐中去過而夸夸其談的科學(xué)能人了.
同時也可以看到，手中拿了最先進的科學(xué)工具，由于疏忽或漫不經(jīng)心而造成的教訓(xùn).現(xiàn)代計算工具能計算得很快很準(zhǔn)，但也有一個缺點，一旦算錯了，不容易檢查出來.對于計算象201位數(shù)字開23次方這類的問題——多少屬于數(shù)學(xué)游戲性質(zhì)的問題，算錯了無所謂，而對在實際運用中的問題算錯了就不是玩的.“二萬條指令”出錯的可能性多了，而在演算過程中想法少用或不用計算機演算，檢查起來就不那么難了.這說明人應(yīng)該是機器的主人，而不是機器的奴隸.至于大算一陣嚇唬人的情況就更不值一提了.這里我們還可以看到基本功訓(xùn)練的重要性.如果基本功較差，那么就是使用大型計算機來演算201 位數(shù)開23次方也要1分多鐘才能算完.而有了很好的基本功，就是用小計算器也能花比1分鐘少的時間算出來.
這是一篇可寫可不寫的文章，我之所以寫出的原因，在于我從沙昆塔拉這件事中得到了啟發(fā)，受到教育，我想，這些也許對旁人也會是有用的.
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:10
佛曰：奢悉南怯謹(jǐn)侄喝佛奢地梵伊冥想怯諦殿穆實跋輸冥那冥伽侄姪穆豆蒙諸哆姪離吶有缽迦數(shù)哆地薩除哆盡罰彌般吶有那爍冥殿吶跋夢俱波滅夜曰奢阿梵阿數(shù)吶跋哆舍皤者波諳若怯阿侄跋穆奢都道諳怛侄究皤亦離皤夜皤若呼依竟度奢寫哆寫梵陀哆集吶薩俱盧缽羅缽醯想奢呼哆沙死藐沙梵悉
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:12
方舟子：這個叫華羅庚的竟敢拆我臺。。。要不是我律師現(xiàn)在堵車，我肯定要告他！
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:17
這真是干貨了吧。。。。
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:20
Reply Post by mg19870219 (2014-01-21 15:12):
方舟子：這個叫華羅庚的竟敢拆我臺。。。要不是我律師現(xiàn)在堵車，我肯定要告他！
看，這就是純腦殘式的回答。
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:23
實話說我覺得樓主這種人很蛋疼，你不可能給不懂科學(xué)的人講懂科學(xué)，這是不現(xiàn)實的。
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:24
這個文章好！
這種知識應(yīng)該多普及普及
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:24
Reply Post by mg19870219 (2014-01-21 15:12):
方舟子：這個叫華羅庚的竟敢拆我臺。。。要不是我律師現(xiàn)在堵車，我肯定要告他！
你看原文了么…
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:25
Reply Post by 莫比 (2014-01-21 15:23):
實話說我覺得樓主這種人很蛋疼，你不可能給不懂科學(xué)的人講懂科學(xué)，這是不現(xiàn)實的。
能把3.27提高成3.270000001，就已經(jīng)是贏了。
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:26
Reply Post by mg19870219 (2014-01-21 15:12):
方舟子：這個叫華羅庚的竟敢拆我臺。。。要不是我律師現(xiàn)在堵車，我肯定要告他！
你看原文了嗎。。。華羅庚說的是和方舟子一個事情啊
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:27
哈哈, 樓上的回帖真是牛x
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:29
Reply to Reply Post by Abbendis (2014-01-21 15:27)
我是說2樓和五樓, 某些人真是看到方舟子就眼紅, 恨不能親手殺了方舟子呀
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:29
簡單點說，就是利用數(shù)論的知識，再結(jié)合下四舍五入？
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:29
Reply Post by cobalt (2014-01-21 15:25):
能把3.27提高成3.270000001，就已經(jīng)是贏了。
老師教這個有工資，你做這個有什么好處？
我算是看開了，對于這種事情，何必爭個輸贏，爭來爭去浪費自己時間，去睡覺也比教沒腦子的算數(shù)好。
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:30
有理有據(jù)，令人信服
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:34
有的人一看到方舟子，瞬間就暴露智商了……
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:35
2樓回帖的真是無腦噴，我還以為是我語文學(xué)的不好
我認(rèn)為，被稱作或者授予天才都沒問題，但是你接下來干的事情要對得起這個稱號才行，否則，那也只是曇花一現(xiàn)
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:36
熊貓爺竟然釣到魚了...
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:39
Reply Post by mg19870219 (2014-01-21 15:12):
方舟子：這個叫華羅庚的竟敢拆我臺。。。要不是我律師現(xiàn)在堵車，我肯定要告他！
無腦肘子黑智商展示
網(wǎng)友評論2014-01-21 15:41
Reply to Reply Post by mg19870219 (2014-01-21 15:12)
論語文的重要性
