» 9位數(shù)開立方速算
在前面方舟子發(fā)的打假文章中，貼出了華羅庚的《天才與鍛煉》，其中講到了六位數(shù)的開立方的速算：
“然后，我告訴他，我的完整想法是：把六位數(shù)開立方，從前三位決定答數(shù)的第一位，答數(shù)的第二位根據(jù)原數(shù)的末位而定：2、8互換，3、7互換，其它照舊(這是因為1、2、3、4、5、6、7、8、9立方的末位分別為1、8、7、4、5、6、3、2、9)。
例如314,432的立方根是68，前三位決定6，末位是2，它決定答數(shù)的末位是8。”
這個比較容易理解，稍微鍛煉下就能計算了，但是后面提到
“沙昆塔拉可以脫口而出地回答188,132,517的立方根是573。當然188決定了首位5，末位7決定了3，但讀者試想一下，中間的7怎樣算？
歸納起來可以看出有兩個方法：一個由頭到尾，一個由尾到頭。
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這一段沒有給出過程的解法具體是怎樣呢，我想了個把小時，摸清了點驗算的規(guī)律，大家看看對不對。
188,132,517已經(jīng)確定首位是5了，那么用188減去5的立方等于63，與中間3位數(shù)組成一個五位數(shù)63,132，我們就用這個五位數(shù)來驗算出立方根的中間位數(shù)字
接下來用首位數(shù)5的平方乘以300等于7,500，用63,132除以7,500得出商為8，余數(shù)就不管了
然后用7,500加上(3X5X8*10=1200)再加上(8*8=64)得出8764，用8764*8，結果很容易看出大于63,132，所以8偏大，應減去1取值7.
用7驗算的結果是8599*7，小于63,132，所以中間位數(shù)是7，前面的立方根結果是573。
我們再拿一組數(shù)來驗算這個估算過程的適用性： 260,917,119
首位數(shù)很容易得出是6，用260減去6的立方得到44，跟中間的數(shù)字組成44,917，用這個數(shù)除以300*36，得出商為4，余數(shù)忽略
然后用(300*36=10800)加上(3*6*4*10)加上(4*4=16)得出11,516, 再乘以4等于46,064，大于44,917，故4偏大，應減去1取值3
用3驗算的結果是11,349*3, 小于44,917, 所以中間數(shù)是3
最后位明顯是9，所以結果是639
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補充從尾數(shù)開始的計算，設立方根=100a+10b+c, 那么只需要3c^2*b的個位數(shù)與c^3的十位數(shù)相加，得出的結果的個位數(shù)與原9尾數(shù)的十位數(shù)字一致，
重新計算前面的數(shù)，7b+2的個位數(shù)為1，那么b=7
從尾數(shù)開始算貌似簡單許多！
在心算的時候其實可以做很多簡化，熟練鍛煉后很容易馬上就得出結果，大家可以試看看。
網(wǎng)友評論2014-01-22 23:49
這已經(jīng)是我第三次看這個東西了
網(wǎng)友評論2014-01-23 00:03
Reply Post by 放開那男的 (2014-01-22 23:49):
這已經(jīng)是我第三次看這個東西了
后面的是我自己寫的，你怎么就第三次看到了呢。。。
網(wǎng)友評論2014-01-23 00:25
研究了一下用后面的兩位確定十位數(shù)的手段。
789^3=491169069
用前三位分段，判定首位是7,2837律判定末尾是9
這個不用贅述了。
然后考慮十位數(shù)。
對于一個三位數(shù)，(M00+N0+X)^3
展開之后只有，3·N0·X·X+X^3兩項的結果會干涉到十位數(shù)。
而X是已知的，算出N就比較簡單了。
我的算法�！右徽�。
結果末位為069，先減去9的立方729，個位舍去，得到十位數(shù)是4
然后依次除以 3 X X
如果不能整除，則在4前面+1，不能再+1直到整除，進行三次得到各位。
4/3 no
14/3 no
24/3=8
next
8/9 no
18/9=2 yes
next
2/9 no
……
72/9=8
ok
十位為8
end
這樣做運算量小很多。
不過這里涉及到十位數(shù)是5和0的問題。
對于末位是奇數(shù)來說
十位數(shù)的差值為0時，根第二位是0，差值5，根二位5
但是根末位是偶數(shù)時，我要在算算。有漏洞
網(wǎng)友評論2014-01-23 01:20
Reply Post by zstotal (2014-01-23 00:25):
研究了一下用后面的兩位確定十位數(shù)的手段。
789^3=491169069
用前三位分段，判定首位是7,2837律判定末尾是9
這個不用贅述了。
然后考慮十位數(shù)。
對于一個三位數(shù)，(M00+N0+X)^3
展開之后只有，3·N0·X·X+X^3兩項的結果會干涉到十位數(shù)。
而X是已知的，算出N就比較簡單了。
我的算法�！右徽ā�
結果末位為069，先減去9的立方729，個位舍去，得到十位數(shù)是4
然后依次除以 3 X X
如果不能整除，則在4前面+1，不能再+1直到整除，進行三次得到各位。
4/3 no
14/3 no
24/3=8
next
8/9 no
18/9=2 yes
next
2/9 no
..
按照你的思路進行了從尾數(shù)開始的計算，不過利用的是展開式X^3-Y^3=(X-Y)(X^2+XY+Y^2)
設X為立方根=100a+10b+c Y=100a+10b
因為Y^3的后三位都是0，那么X^3的后三位數(shù)字與X^3-Y^3的后三位數(shù)字相同
將X,Y代入公式(100a+10b+c)^3-(100a+10b)^3=c
只考慮后兩位，那么只考慮c^3+30bc^2即可，那么結果就是729+2430b, 然后開始驗算十位的數(shù)字即可也就是3b+2的個位數(shù)等于6，那么b=8
網(wǎng)友評論2014-01-23 09:05
我已經(jīng)看不懂你們在說什么了
網(wǎng)友評論2014-01-23 09:20
樓上這個公式！！
待我擼擼。
網(wǎng)友評論2014-01-23 09:24
如果是非完全立方數(shù)，保留三位小數(shù)，難度立馬上去了
網(wǎng)友評論2014-01-23 09:27
從上面某樓的回復來看，應該是馬龍……
網(wǎng)友評論2014-01-23 18:29
